解答题
21.(本小题满分14分)
设.
两点在抛物线
上,
是
的垂直平分线
1)当且仅当取何值时,直线
经过抛物线的焦点
?证明你的结论;
2)当直线的斜率为2时,求
在
轴上截距的取值范围
本小题主要考察直线与抛物线等基础知识,考察逻辑推理能力和综合分析、
解决问题的能力
解法一:(1)、
两点到抛物线的准线的距离相等
因为:抛物线的准线是轴的平行线,
,依题意
、
不同时为0
所以,上述条件等价于;
注意到:,所以上述条件等价于
即:当且仅当时,直线
经过抛物线的焦点
(2)设在
轴上的截距为
,依题意得
的方程为
;过点
、
的直线方程可写为,所以
、
满足方程
,
即
、
为抛物线上不同的两点等价于上述方程的判别式
,也就是:
设
的中点
的坐标为为
,则有:
,
由得:
,于是:
即:在
轴上截距的取值范围是
.解法二:(Ⅰ)∵抛物线,即
,
∴焦点为…………………………………………1分
(1)直线的斜率不存在时,显然有
………………3分
(2)直线的斜率存在时,设为k, 截距为b
即直线:y=kx+b
由已知得:
……5分
………7分
即的斜率存在时,不可能经过焦点
……………………8分
所以当且仅当=0时,直线
经过抛物线的焦点F……………9分
(II)解:设直线的方程为:y=2x+b,
故有过AB的直线的方程为,代入抛物线方程有2x2+
=0,
得x1+x2=-
.
由A.B是抛物线上不同的两点,于是上述方程的判别式,即
由直线AB的中点为=
,
则 于是
即得l在y轴上的截距的取值范围是
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