解答题

22.（本小题满分12分）

 已知函数f(x)=

(1)求函数f(x)的单调区间和值域；

（2）设a≥1, 函数g(x)=x³-3a²x-2a, x∈[0,1], 若对于任意x₁∈[0,1],

总存在x₀∈[0,1], 使得g((x₀) =f(x₁)成立，求a的取值范围

解： （1）对函数f(x)=求导，得f’(x)=，

令f’(x)=0解得x=或x=. 当x变化时，f’(x),  f(x)的变化情况如下表所示：

所以，当时，f(x)是减函数；当时，f(x)是增函数

当时，f(x)的值域是[-4，-3]

（II）对函数g(x)求导，则g’(x)=3(x2-a2).

因为，当时，g’(x)<5(1-a2)≤0,

因此当时，g(x)为减函数，

从而当x∈[0,1]时有g(x)∈[g(1),g(0)],

又g(1)=1-2a-3a2,g(0)=-2a,

即当x∈[0,1]时有g(x)∈[1-2a-3a2,-2a],

任给x1∈[0,1],f(x1)∈[-4,-3],存在x0∈[0,1]使得g(x0)=f(x1),

则[1-2a-3a2,-2a]，

即  ,

解①式得a≥1或,

解②式得，

又,故a的取值范围内是.