解答题
(22)(本小题满分12分)
、
、
、
四点都在椭圆
上,
为椭圆在
轴正半轴上的焦点.
已知与
共线,
与
共线,且
.求四边形
的面积
的最小值和最大值.
解:∵.
即
.
当MN或PQ中有一条直线垂直于x轴时,另一条直线必垂直于y轴. 不妨设MN⊥y轴,则PQ⊥x轴
∵F(0,
1) ∴MN的方程为:y=1,PQ的方程为:x=0
分别代入椭圆中得:|MN|=
,
|PQ|=2
.
S四边形PMQN=|MN|·|PQ|=
×
×2
=2
当MN,PQ都不与坐标轴垂直时,设MN的方程为y=kx+1 (k≠0),
代入椭圆中得:(k2+2)x2+2kx-1=0,
∴x1+x2=,
x1·x2=
∴
同理可得:
S四边形PMQN=|MN|·|PQ|=
=
(当且仅当即
时,取等号).
又S四边形PMQN =,∴此时
S四边形PMQN
综上可知:(S四边形PMQN )max=2, (S四边形PMQN )min=
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