解答题

（20）（本小题满分12分）

     如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，PD垂直于底面ABCD，AD=PD，E、F分别

     为CD、PB的中点．

    （Ⅰ）求证：EF垂直于平面PAB；

    （Ⅱ）设AB=BC，求AC与平面AEF所成的角的大小．

本小题主要考查直线与平面垂直、直线与平面所成角的有关知识、及思维能力和

空间想象能力，考查应用向量知识解决数学问题的能力

解：方法一：

⑴取PA中点G, 连结FG, DG

⑵设AC, BD交于O，连结FO.

设BC=a, 则AB=a, ∴PA=a, DG=a=EF, ∴PB=2a, AF=a.

设C到平面AEF的距离为h.

∵VC－AEF=VF－ACE, ∴ 

即  ∴ 

∴AC与平面AEF所成角的正弦值为.

即AC与平面AEF所成角为

方法二：以D为坐标原点，DA的长为单位，建立如图所示的直角坐标系，

（1）证明：

设，其中，则，

，

又，

（2）解：由得，

可得

，

则异面直线AC，PB所成的角为，

，

又，AF为平面AEF内两条相交直线，

，

AC与平面AEF所成的角为，

即AC与平面AEF所成的角为