解答题

（22）（本小题满分12分）

已知，函数．

（Ⅰ）当x为何值时，f(x)取得最小值？证明你的结论；

（Ⅱ）设f(x)在[-1,1]上是单调函数，求a的取值范围．

 本小题主要考查导数的概念和计算，应用导数研究函数性质的方法及推理和运算能力

解：⑴令=0  即[x2－2(a－1)x－2a]ex=0  ∴x2－2(a－1)x－2a=0

∵△=[2(a－1)]2+8a=4(a2+1)>0  ∴x1=, x2=

又∵当x∈(－∞, )时，>0；

当x∈(, )时，<0；

当x∈(, +∞)时，>0

∴x1, x2分别为f (x)的极大值与极小值点.

又∵；当时.

而f ()=<0.

∴当x=时，f (x)取得最小值

⑵f (x)在[－1, 1]上单调，则≥ 0(或≤ 0)在[－1, 1]上恒成立

而=[x2－2(a－1)x－2a]ex, 令g(x)= x2－2(a－1)x－2a=[x－(a－1)]2－(a2+1).

∴≥ 0(或≤ 0) 即g(x) ≥ 0(或≤ 0)

当g(x) ≥ 0在[－1, 1]上恒成立时，有

①当－1≤ a－1 ≤1即0≤ a ≤2时, g(x)min=g(a－1)= －(a2+1) ≥ 0(舍)；

②当a－1>1即a ≥ 2时, g(x)min=g(1)= 3－4a ≥ 0 ∴a≤(舍).

当g(x) ≤ 0在[－1, 1]上恒成立时，有

①当－1≤ a－1 ≤ 0即0≤ a ≤ 1时, g(x)max=g(1)=3－4a ≤ 0, ∴≤ a ≤ 1；

②当0< a－1 ≤ 1即1< a ≤ 2时, g(x)max=g(－1)= －1 ≤ 0, ∴1< a ≤ 2；

③当1< a－1即a > 2时, g(x)max=g(－1)= －1 ≤ 0, ∴a >2

故a∈[,+∞)