解答题

（21）（本大题满分14分）

已知椭圆的中心为坐标原点O，焦点在轴上，斜率为1且过椭圆右焦点F的直线

交椭圆于A、B两点，与共线

（Ⅰ）求椭圆的离心率；

（Ⅱ）设M为椭圆上任意一点，且，证明为定值

本小题主要考查直线方程、平面向量及椭圆的几何性质等基本知识，考查综合运用数学

知识解决问题及推理的能力. 满分12分

（1）解：设椭圆方程为

则直线AB的方程为，代入，化简得

.

令A（），B），则

由与共线，得

又，

即，所以，

故离心率

（II）证明：（1）知，所以椭圆可化为

设，由已知得

 在椭圆上，

即①

由（1）知