解答题

20．（本小题满分12分）

如图，在长方体ABCD—A1B1C1D1，中，AD=AA1=1，AB=2，点E在棱AB上移动.

   （1）证明：D1E⊥A1D；

   （2）当E为AB的中点时，求点E到面ACD1的距离；

   （3）AE等于何值时，二面角D1—EC—D的大小为.

解法（一）

（1）证明：∵AE⊥平面AA1DD1，A1D⊥AD1，∴A1D⊥D1E

（2）设点E到面ACD1的距离为h，在△ACD1中，AC=CD1=，AD1=，

故

（3）过D作DH⊥CE于H，连D1H、DE，则D1H⊥CE，

  ∴∠DHD1为二面角D1—EC—D的平面角.

设AE=x，则BE=2－x

解法（二）：以D为坐标原点，直线DA，DC，DD1分别为x,y,z轴，建立

空间直角坐标系，设AE=x，则A1（1，0，1），D1（0，0，1），

E（1，x，0），A（1，0，0）C（0，2，0）

（1）

（2）因为E为AB的中点，则E（1，1，0），

从而，

，

设平面ACD1的法向量为，

则

也即，得，从而，所以点E到平面AD1C的距离为

（3）设平面D1EC的法向量，

∴

由  令b=1, ∴c=2,a=2－x，

∴

依题意

∴（不合，舍去）， .

∴AE=时，二面角D1—EC—D的大小为.