解答题

20．（本小题满分12分）

    如图所示的多面体是由底面为ABCD的长方体被截面AEC1F所截面而得到的，

    其中AB=4，BC=2，CC1=3，BE=1

   （Ⅰ）求BF的长；

   （Ⅱ）求点C到平面AEC1F的距离

本小题主要考查线面关系和空间距离的求法等基础知识，同时考查空间想象能力

和推理运算能力

解法1：（Ⅰ）过E作EH//BC交CC1于H，则CH=BE=1，EH//AD，且EH=AD.

又∵AF∥EC1，∴∠FAD=∠C1EH.

∴Rt△ADF≌Rt△EHC1.  ∴DF=C1H=2.

（Ⅱ）延长C1E与CB交于G，连AG，

则平面AEC1F与平面ABCD相交于AG.

过C作CM⊥AG，垂足为M，连C1M，

由三垂线定理可知AG⊥C1M.由于AG⊥面C1MC，且

AG面AEC­1F，所以平面AEC1F⊥面C1MC.在Rt△C1CM中，作CQ⊥MC1，

垂足为Q，则CQ的长即为C到平面AEC1F的距离

解法2：（I）建立如图所示的空间直角坐标系，则D（0，0，0），

B（2，4，0），A（2，0，0），C（0，4，0），E（2，4，1），

C1（0，4，3）.设F（0，0，z）.

∵AEC1F为平行四边形，

（II）设为平面AEC1F的法向量，

的夹角为a，则

∴C到平面AEC1F的距离为