解答题

17．（本小题满分14分）

在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=x2上异于坐标原点O的两不同动点A、B

满足AO⊥BO（如图4所示）.

   （Ⅰ）求△AOB的重心G（即三角形三条

    中线的交点）的轨迹方程；

   （Ⅱ）△AOB的面积是否存在最小值？若存在，

    请求出最小值；若不存在，请说明理由.

解：（I）设△AOB的重心为G(x,y),A(x1,y1),B(x2,y2),则    …（1）

∵OA⊥OB ∴,即，……(2)

又点A，B在抛物线上，有，代入（2）化简得

∴

所以重心为G的轨迹方程为

（II）

由（I）得

当且仅当即时，等号成立

所以△AOB的面积存在最小值，存在时求最小值1；