20．（本小题满分13分）

    如图，在三棱柱ABC—A1B1C1中，AB⊥侧面BB1C1C，E为棱CC1上异于C、C1的一点，

    EA⊥EB1，已知AB=，BB1=2，BC=1，∠BCC1=，求：

   （Ⅰ）异面直线AB与EB1的距离；

   （Ⅱ）二面角A—EB1—A1的平面角的正切值.

解法一：

   （Ⅰ）因AB⊥面BB1C1C，故AB⊥BE.

又EB1⊥EA，且EA在面BCC1B1内的射影为EB.

由三垂线定理的逆定理知EB1⊥BE，因此BE是异面直线

AB与EB1的公垂线，

在平行四边形BCC1B1中，设EB=x，则EB1=，

作BD⊥CC1，交CC1于D，则BD=BC·

在△BEB1中，由面积关系得.

（负根舍去）

解之得CE=2，故此时E与C1重合，由题意舍去.

因此x=1，即异面直线AB与EB1的距离为1.

（Ⅱ）过E作EG//B1A1，则GE⊥面BCC1B，故GE⊥EB1且GE在圆A1B1E内，

又已知AE⊥EB1

故∠AEG是二面角A—EB1—A1的平面角.

因EG//B1A1//BA，∠AEG=∠BAE，故

解法二：

（Ⅰ）

而BB1C1C得AB⊥EB1从而=0.

设O是BB1的中点，连接EO及OC1，则在Rt△BEB1中，EO=BB1=OB1=1，

因为在△OB1C1中，B1C1=1，∠OB1C1=，故△OB1C1是正三角形，所以OC1=OB1=1，

又因∠OC1E=∠B1C1C－∠B1C1O=故△OC1E是正三角形，

所以C1E=1，故CE=1，易见△BCE是正三角形，从面BE=1，

即异面直线AB与EB1的距离是1.

（Ⅱ）由（I）可得∠AEB是二面角A—EB1—B的平面角，在Rt△ABE中，由AB=，

BE=1，得tanAEB=.

又由已知得平面A1B1E⊥平面BB1C1C，

故二面角A—EB1—A1的平面角，故

解法三：

（I）以B为原点，、分别为y、z轴建立空间直角坐标系.

 由于BC=1，BB1=2，AB=，∠BCC1=，

 在三棱柱ABC—A1B1C1中有

 B（0，0，0），A（0，0，），

 B1（0，2，0），

 设

又AB⊥面BCC1B1，故AB⊥BE. 因此BE是异面直线AB、EB1的公垂线，

则，故异面直线AB、EB1的距离为1.

（II）由已知有故二面角A—EB1—A1的平面角的大小

为向量的夹角.