解答题

(16)(本小题共14分)

  如图, 在直三棱柱中， ，

点为的中点

 (Ⅰ)求证;

 (Ⅱ) 求证;

 (Ⅲ)求异面直线与所成角的余弦值

 解:

（I）直三棱柱ABC－A1B1C1，底面三边长AC=3，BC=4AB=5，

∴ AC⊥BC，且BC1在平面ABC内的射影为BC，∴ AC⊥BC1；

（II）设CB1与C1B的交点为E，连结DE，∵ D是AB的中点，E是BC1的中点，

∴ DE//AC1，

∵ DE平面CDB1，AC1平面CDB1，∴ AC1//平面CDB1；

（III）∵ DE//AC1，∴ ∠CED为AC1与B1C所成的角，

在△CED中，ED=AC 1=，CD=AB=，CE=CB1=2，

∴ ，

∴ 异面直线 AC1与 B1C所成角的余弦值.

解法二：

∵直三棱锥底面三边长，

两两垂直

如图建立坐标系，则C(0,0,0),A(3,0,0),C1(0,0,4),B(0,4,0),B1(0,4,4),D(,2,0)

 (Ⅰ),

(Ⅱ)设与的交点为E，则E(0,2,2)

(Ⅲ)

　　∴异面直线与所成角的余弦值为