解答题

（19）（本小题共14分）

    已知函数．

  (I)求的单调递减区间；

  (Ⅱ)若在区间[一2，2]上的最大值为20，求它在该区间上的最小值.

解：（I） f'(x)＝－3x₂＋6x＋9．令f'(x)<0，解得x<－1或x>3，

     所以函数f(x)的单调递减区间为（－∞，－1），（3，＋∞）．

  （II）因为f(－2)＝8＋12－18＋a=2＋a，f(2)＝－8＋12＋18＋a＝22＋a，

   所以f(2)>f(－2)．因为在（－1，3）上f'(x)>0，所以f(x)在[－1, 2]

上单调递增，又由于f(x)在[－2，－1]上单调递减，因此f(2)和f(－1)分别

是f(x)在区间[－2，2]上的最大值和最小值，于是有 22＋a＝20，解得 a＝－2．   

故f(x)=－x₃＋3x₂＋9x－2，因此f(－1)＝1＋3－9－2＝－7，

    即函数f(x)在区间[－2，2]上的最小值为－7．