解答题
21.(本小题满分12分)
已知函数是R上的奇函数,当时取得极值。
(1)求的单调区间和极大值;
(2)证明对任意,,不等式恒成立。
本小题主要考查函数的单调性及奇偶性,考查运用导数研究函数单调性及
极值等基础知识,考查综合分析和解决问题的能力,满分12分。
(1)解:由奇函数的定义,应有,
即 ∴
因此,
由条件为的极值,必有,故
解得,
因此,,
当时,,故在单调区间上是增函数
当时,,故在单调区间上是减函数
当时,,故在单调区间上是增函数
所以,在处取得极大值,极大值为
(2)解:由(1)知,是减函数,且
在上的最大值
在上的最小值
所以,对任意的,,恒有
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