解答题
22、(本题满分18分) 第1小题满分6分, 第2小题满分4分, 第3小题满分8分
设P1(x1,y1), P1(x2,y2),…, Pn(xn,yn)(n≥3,n∈N) 是二次曲线C上的点,
且a1=2,
a2=
2,
…, an=
2构成了一个公差为d(d≠0)
的等差数列,
其中O是坐标原点. 记Sn=a1+a2+…+an.
(1)
若C的方程为-y2=1,n=3.
点P1(3,0)
及S3=162,
求点P3的坐标;
(只需写出一个)
(2) 若C的方程为y2=2px(p≠0). 点P1(0,0), 对于给定的自然数n, 证明:
(x1+p)2, (x2+p)2, …,(xn+p)2成等差数列;
(3)
若C的方程为(a>b>0).
点P1(a,0),
对于给定的自然数n,
当
公差d变化时, 求Sn的最小值.
【解】(1)
a1=2=9,由S3=
(a1+a3)=162,得a3=
3=99.
由 |
|
,得 |
|
x |
y |
∴点P3的坐标可以为(3,3).
(2)对每个自然数k,1≤k≤n,由题意2=(k-1)d,及
|
,得x |
x |
即(xk+p)2=p2+(k-1)d,
∴(x1+p)2, (x2+p)2, …,(xn+p)2是首项为p2,公差为d的等差数列.
(3)
【解法一】原点O到二次曲线C:(a>b>0)上各点的最小距离为b,最大距离为a.
∵a1=2=a2,
∴d<0,且an=
2=a2+(n-1)d≥b2,
∴≤d<0.
∵n≥3,
>0
∴Sn=na2+d在[
,0)上递增,
故Sn的最小值为na2+·
=
.
【解法二】对每个自然数k(2≤k≤n),
由 |
|
,解得y |
|
∵0< y≤b2,得
≤d<0
∴≤d<0
以下与解法一相同.
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