解答题
20、(本题满分14分) 第1小题满分6分, 第2小题满分8分
如图,
直线y=
x与抛物线y=
x2-4交于A、B两点,
线段AB的垂直
平分线与直线y=-5交于Q点.
(1) 求点Q的坐标;
(2) 当P为抛物线上位于线段AB下方
(含A、B) 的动点时, 求ΔOPQ面积的最大值.
【解】(1)解方程组 |
|
得 |
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y= |
y1=-2, y2=4 |
即A(-4,-2),B(8,4), 从而AB的中点为M(2,1).
由kAB==,直线AB的垂直平分线方程y-1=
(x-2).
令y=-5, 得x=5, ∴Q(5,-5)
(2)
直线OQ的方程为x+y=0,
设P(x,
x2-4).
∵点P到直线OQ的距离d==
,
,∴SΔOPQ=
=
.
∵P为抛物线上位于线段AB下方的点, 且P不在直线OQ上,
∴-4≤x<4-4或4
-4<x≤8.
∵函数y=x2+8x-32在区间[-4,8] 上单调递增,
∴当x=8时, ΔOPQ的面积取到最大值30.
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