解答题

21．（本小题满分12分）三棱锥P-ABC中，侧面PAC与底面ABC垂直，PA=PB=PC=3，

（1）求证：AB ⊥ BC； 

AB=BC=

本小题主要考查两个平面垂直的性质、直线与平面所成角等有关知识，以及

逻辑思维能力和空间想象能力.满分12分.

    （Ⅰ）证明：如图1，取AC中点D，连结PD、BD.

    因为PA=PC，所以PD⊥AC，又已知面PAC⊥面ABC，

所以PD⊥面ABC，D为垂足.

因为PA=PB=PC，所以DA=DB=DC，

可知AC为△ABC的外接圆直径，因此AB⊥BC.

（Ⅱ）解：如图2，作CF⊥PB于F，连结AF、DF.

因此，PB⊥平面AFC，

所以面AFC⊥面PBC，交线是CF，

因此直线AC在平面PBC内的射影为直线CF，

∠ACF为AC与平面PBC所成的角.

在Rt△ABC中，AB=BC=2，所以BD=

在Rt△PDC中，DC=

在Rt△PDB中，

在Rt△FDC中，  所以∠ACF=30°.

即AC与平面PBC所成角为30°.