解答题

21．（本小题满分12分）

如图，已知四棱锥 P—ABCD，PB⊥AD，侧面PAD为边长等于2的正三角形，

底面ABCD为菱形，侧面PAD与底面ABCD所成的二面角为120°.

   （I）求点P到平面ABCD的距离；

（II）求面APB与面CPB所成二面角的大小.

本小题主要考查棱锥，二面角和线面关系等基本知识，同时考查空间想象能力

和推理、运算能力.满分12分.

   （I）解：如图，作PO⊥平面ABCD，垂足为点O.连结OB、OA、OD、OB与

AD交于点E，连结PE.

∵PA=PD，∴OA=OD，

于是OB平分AD，点E为AD的中点，所以PE⊥AD.

由此知∠PEB为面PAD与面ABCD

所成二面角的平面角，………………4分

∴∠PEB=120°，∠PEO=60°

由已知可求得PE=

∴PO=PE·sin60°=，

即点P到平面ABCD的距离为.………………6分

（II）解法一：如图建立直角坐标系，其中O为坐标原点，x轴平行于DA.

.连结AG.

所以

等于所求二面角的平面角，…………10分

于是

所以所求二面角的大小为.…………12分

解法二：如图，取PB的中点G，PC的中点F，连结EG、AG、GF，则AG⊥PB，

FG//BC，FG=BC.

∵AD⊥PB，∴BC⊥PB，FG⊥PB，

∴∠AGF是所求二面角的平面角.……9分

∵AD⊥面POB，∴AD⊥EG.

又∵PE=BE，∴EG⊥PB，且∠PEG=60°.

在Rt△PEG中，EG=PE·cos60°=.

在Rt△PEG中，EG=AD=1.  于是tan∠GAE==，

又∠AGF=π－∠GAE.   所以所求二面角的大小为π－arctan.………12分