解答题

19．（本小题满分12分）

设椭圆方程为，过点M（0，1）的直线l交椭圆于点A、B，O是

坐标原点，点P满足，点N的坐标为，当l绕点M旋转时，求：

   （1）动点P的轨迹方程；

   （2）的最小值与最大值.

本小题主要考查平面向量的概念、直线方程的求法、椭圆的方程和性质等

基础知识，以及轨迹的求法与应用、曲线与方程的关系等解析几何的基本

思想和综合解题能力. 满分12分.

（1）解法一：直线l过点M（0，1）设其斜率为k，则l的方程为

记、由题设可得点A、B的坐标、是方程组 

           

将①代入②并化简得，，所以

  于是

…………6分

设点P的坐标为则

消去参数k得     ③

　

当k不存在时，A、B中点为坐标原点（0，0），也满足方程③，所以

点P的轨迹方程为………………8分

解法二：设点P的坐标为，因、在椭圆上，所以

  ④               ⑤

④—⑤得，所以

当时，有      ⑥

并且    ⑦   将⑦代入⑥并整理得     ⑧

     当时，点A、B的坐标为（0，2）、（0，－2），

这时点P的坐标为（0，0）也满足⑧，所以点P的轨迹方程为

………………8分

（2）解：由点P的轨迹方程知所以

……10分

故当，取得最小值，最小值为时，取得最大值，

最大值为……………………12分

注：若将代入的表达式求解，可参照上述标准给分.