解答题
(22)(本小题满分14分)
如图,直线与
相交于点P。直线
与x轴交于点P1,过点P1作x轴的垂线交直线于点Q1,过点Q1作y轴的
垂线交直线于点P2,过点P2作x轴的垂线交直线
于点Q2,…,这样
一直作下去,可得到一系列点P1,Q1,P2,Q2,…。点Pn(n=1,2,…)
的横坐标构成数列。
(Ⅰ)证明
(Ⅱ)求数列
的通项公式;
(Ⅲ)比较与
的大小。
解:
(Ⅰ)证明
设点的坐标是
由已知条件得
点
的坐标分别是:
由在直线
上,
得
所以
即
(Ⅱ)解
由题设知
又由(Ⅰ)知
所以
数列是首项为x1—1
,公比为
的等比数列。
从而即
,
。
(Ⅲ)
解
由得点P的坐标为(1,1)。
所以
(当
,即
或
时,
而此时0所以
故
当0
即
时,
而此时所以
故