解答题

18．（本小题满分12分）

     如图，在棱长为1的正方体ABCD—A1B1C1D1中，AC与BD交于点E，

CB与CB1交于点F.

（I）求证：A1C⊥平BDC1；

（II）求二面角B—EF—C的大小（结果用反三角函数值表示）.

　     

本小题主要考查线面关系和正方体等基础知识，考查空间想象能力和推理能力.

满分12分.

解法一：（Ⅰ）∵A1A⊥底面ABCD，则AC是A1C在底面ABCD的射影.

∵AC⊥BD.∴A1C⊥BD.

同理A1C⊥DC1,又BD∩DC1=D,

∴A1C⊥平面BDC1.

（Ⅱ）取EF的中点H，连结BH、CH，

　

　

　

　

又E、F分别是AC、B1C的中点，

解法二：（Ⅰ）以点C为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系,则C(0,0,0).

D(1,0,0),B(0,1,0),A1(1,1,1),C1(0,0,1),D1(1,0,1)

　

　

　

　

　

　

（Ⅱ）同（I）可证，BD1⊥平面AB1C.

　

　

　

　

　

　

　

　

　

　

　

　

　

　

　

　

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