解答题
(22)(本小题满分14分)
已知,数列满足n=1,2,…。
(Ⅰ)已知数列极限存在且大于零,求A=(将A用表示);
(Ⅱ)设…,证明:;
(Ⅲ)若对…,都成立,求的取值范围。
本小题主要考查数列、数列极限的概念和数学归纳法,考查灵活运用数学
知识分析问题和解决问题的能力,满分14分。
解:(Ⅰ)由存在,且A(A>0),对两边取极限得,
A=,解得A=,又A>0, ∴A=.
(Ⅱ)由得。
∴。
既对n=1,2,…都成立。
(Ⅱ)邻,得。
∴。
∴,解得。
现证明当时,,对,…都成立。
(Ⅰ)当时结论成立(已验证)。
(Ⅱ)假设当时结论成立,既,那么
。
故只须证明,既证对成立。
由于A=,
而当时,∴A≥2。
∴既
故当时, 。
既时结论成立。
根据(Ⅰ)和(Ⅱ),可知结论对一切正整数都有成立。
故对…都成立的的取值范围为。
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