解答题

22)(本小题满分14分)

已知,数列满足n=12,…。

文本框: n→∞

(Ⅰ)已知数列极限存在且大于零,求A=(A表示)

(Ⅱ)设…,证明:

(Ⅲ)若…,都成立,求的取值范围。

本小题主要考查数列、数列极限的概念和数学归纳法,考查灵活运用数学

知识分析问题和解决问题的能力,满分14分。

解:(Ⅰ)由存在,且AA0),对两边取极限得,

A=,解得A=,A0, A=.

()

n=1,2,…都成立。

(Ⅱ)邻,得

 

,解得

现证明当时,,对,…都成立。

(Ⅰ)当时结论成立(已验证)。

(Ⅱ)假设当时结论成立,既,那么

故只须证明,既证成立。

由于A=

而当时,A2

故当时,

时结论成立。

根据(Ⅰ)和(Ⅱ),可知结论对一切正整数都有成立。

…都成立的的取值范围为

 

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