21.(本小题满分12分)
如图,P是抛物线C:y=x2上一点,直线l过点P并与抛物线C在点P的切线
垂直,l与抛物线C相交于另一点Q.
(Ⅰ)当点P的横坐标为2时,求直线l的方程;
(Ⅱ)当点P在抛物线C上移动时,求线段PQ中点M的轨迹方程,并求点M
到x轴的最短距离.
本题主要考查直线、抛物线、不等式等基础知识,求轨迹方程的方法,解析
几何的基本思想和综合解题能力.满分12分.
解:(Ⅰ)把x=2代入,得y=2,
∴点P坐标为(2,2).
由
,
①
得
,
∴过点P的切线的斜率k切=2,
直线l的斜率kl=-=
∴直线l的方程为y-2=-
(x-2),
即 x+2y-6=0.
(Ⅱ)设
∵ 过点P的切线斜率k初=x0,当x0=0时不合题意,
∴ 直线l的斜率kl=-
=
,
直线l的方程为
②
方法一:联立①②消去y,得x2+x-x02-2=0.
设Q
∵M是PQ的中点,
∴
消去x0,得y=x2+(x≠0)就是所求的轨迹方程.
由x≠0知
上式等号仅当时成立,所以点M到x轴的最短距离是
方法二:
设Q则
由y0=x02,y1=
x12,x=
∴
y0-y1=x02-
x12=
(x0+x1)(x0-x1)=x(x0-x1),
∴
∴
将上式代入②并整理,得
y=x2+(x≠0)就是所求的轨迹方程.
由x≠0知
上式等号仅当时成立,所以点M到x轴的最短距离是