20．（本小题满分12分）

某企业2003年的纯利润为500万元，因设备老化等原因，企业的生产

能力将逐年下降.若不能进行技术改造，预测从今年起每年比上一年纯

利润减少20万元，今年初该企业一次性投入资金600万元进行技术改造，

预测在未扣除技术改造资金的情况下，第n年（今年为第一年）的利润

为500(1+)万元（n为正整数）.

（Ⅰ）设从今年起的前n年，若该企业不进行技术改造的累计纯利润为

A_n万元，进行技术改造后的累计纯利润为B_n万元（须扣除技术改造资金），

求A_n、B_n的表达式；

（Ⅱ）依上述预测，从今年起该企业至少经过多少年，进行技术改造后的累计

纯利润超过不进行技术改造的累计纯利润？

本小题主要考查建立函数关系式、数列求和、不等式的等基础知识，考查运用

数学知识解决实际问题的能力.满分12分.

解：（Ⅰ）依题设，A_n=(500－20)+(500－40)+…+(500－20n)=490n－10n²；

B_n=500[(1+)+(1+)+…+(1+)]－600=500n－－100.

（Ⅱ）B_n－A_n=(500n－－100) －(490n－10n²)

=10n²+10n－－100=10[n(n+1) － －10].

因为函数y=x(x+1) － －10在（0，+∞）上为增函数，

当1≤n≤3时，n(n+1) － －10≤12－－10<0；

当n≥4时，n(n+1) － －10≥20－－10>0.

∴仅当n≥4时，B_n>A_n.

答：至少经过4年，该企业进行技术改造后的累计纯利润超过不进行技术

改造的累计纯利润.